Fondamenti della meccanica atomica
Ora moltiplichiamo ambo i membri per
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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Calcoliamo ora la curva di probabilità P(x) della posizione al tempo t.
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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Occupiamoci ora del fattore R(r) della (222), che dipende dalla legge della forza. Esso soddisfa l'equazione (224) dove
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dove è un polinomio di grado n' soddisfacente l'equazione differenziale (264), che scriveremo ora nella forma
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Si osservi ora che l'equazione (264') cui soddisfa si identifica con l'equazione (281) dei polinomi generalizzati di Laguerre, purchè si prenda
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(e contiene, come si vede, una sola delle due costanti di integrazione). Calcoliamo ora l'integrale di fase
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Ora possiamo scrivere le tre condizioni di Sommerfeld, che sono
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Ora, sommando le due ultime condizioni di Sommerfeld (324), (325), e tenendo conto di questa identità, si ottiene
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Ora, : quindi la condizione è
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Ora, per la legge delle aree,
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Si osservi ora che p è sempre multiplo intero di , secondo la (329) o meglio la (329'), perciò si potrà scrivere
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Vediamo ora alcune applicazioni del principio di selezione.
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Si osservi ora che
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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Dimostriamo ora che, se e sono o. l. hermitiani, sono tali anche i due o. l.
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Sia ora la funzione F definita dalla serie
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Se ora per v si sostituisce l'espressione ricavata dalla (7), si ha, con facili trasformazioni
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Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
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Ora, si vede subito che questa equazione può essere soddisfatta prendendo
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Consideriamo ora l'osservabile M, modulo del momento angolare della particella rispetto all'origine. Classicamente si ha : perciò assumeremo come
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Si rammenti ora che l'operatore di LAPLACE in coordinate polari è espresso da
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Esponiamo ora brevemente l'idea, fondamentale di questo metodo.
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Ora, la relazione di permutazione (156) dà, in particolare, per un elemento diagonale (j = k),
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Ora, affinchè il sistema ammetta soluzioni non tutte nulle, bisogna che si annulli il determinante dei coefficienti, ossia dovrà essere
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Se ora poniamo
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Scriviamo ora che la soddisfa l'equazione di Schrödinger (183), cioè che
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Ora si badi che, per la (190), la (205') si scrive:
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Introduciamo ora una perturbazione, dipendente eventualmente anche dal tempo, per la quale l'hamiltoniana divenga
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Moltiplichiamo ora (a destra) la seconda per e la terza per , e sommiamole: si ha
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Introduciamo ora per le la loro espressione approssimata (278'), che diviene nel caso attuale, utilizzando le (241) e (241'),
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Si osservi ora che nel caso attuale l'hamiltoniano si riduce (v. form. (274)) a
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Ora, per la (14)
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Passando ora al caso di , conviene prendere come soluzioni fondamentali
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Occupiamoci ora delle espressioni della densità elettrica (media) e della densità di corrente (media) j; conviene porre:
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lasciando i coefficienti per ora indeterminati: più brevemente scriveremo, indicando con S la matrice i cui elementi sono
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Ora, si verifica facilmente, tenendo presenti le (301), che questa è soddisfatta prendendo
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Dimostriamo ora che, costruita la S in tal modo, la si trasforma con la legge:
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Ora, questa può essere soddisfatta prendendo
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Applichiamo ora questo operatore alle della forma (338) o della forma (341), osservando che
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Applichiamo ora i risultati del § precedente al caso di un sistema idrogenoide, cioè specializziamo la funzione U prendendo
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Ora mostreremo che la (356) è soddisfatta prendendo
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Esaminiamo ora il caso della degenerazione, cioè supponiamo che En sia un autovalore multiplo d'ordine p, e sia
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Ricerchiamo ora le autofunzioni di approssimazione zero corrispondenti a questi autovalori: esse sono date (v. § 39) da:
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dove i = l, 2, ed rappresenta, ora, solo il gruppo dei tre numeri quantici orbitali dell'elettrone i-esimo, mentre il numero quantico di spin, , è
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Si osservi ora che, poichè trascuriamo le forze dovute agli spin, gli autovalori risultano indipendenti dai numeri quantici di spin , dipendendo solo
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Ora formiamo con le autofunzioni posizionali le seguenti combinazioni, simmetrica la prima e antisimmetrica la seconda:
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Ciò premesso, le due autofunzioni di approssimazione zero, simmetrica e antisimmetrica, (381), (381'), si scrivono ora, tenuto conto della (387):
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Dimostreremo ora una proprietà fondamentale delle autofunzioni.
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Accademia della crusca
